数学趣题：舍罕王的失算

故事背景

数学家达依尔向印度国王舍罕王要求赏赐

舍罕王是古印度的一个国王，他喜欢上了下棋，并且和大臣达依尔下棋时输给了他。达依尔请求国王赏赐他麦子，要求是棋盘的第一个格子放1粒麦子，第二个格子放2粒，第三个格子放4粒，第四个格子放8粒，以此类推，每个格子放的麦子是前一个格子的两倍，直到放满整个64格的棋盘。国王觉得要求很简单，就答应了。但是，当真正开始计算所需的麦子数量时，国王才发现这是一个天文数字，他无法兑现这个承诺。

数学问题

舍罕王的计算结果是多少粒麦子？

达依尔请求在棋盘的第一个格子放1粒麦子，第二个格子放2粒，第三个格子放4粒，以此类推，直到放满整个棋盘的64个格子。假设a_1为第一个格子麦子数量、a_2第二个格子麦子数量、……，这意味着：

第一个格子（( a_1 )）有1粒麦子

第二个格子（( a_2 )）有2粒麦子，即 ( a_1*2 )

第三个格子（( a_3 )）有4粒麦子，即 ( a_2*2 )

以此类推，第 ( n ) 个格子（( a_n )）有 ( a_1 * 2^{n-1} ) 粒麦子

从上面的计算规律可以看出，达依尔请求的麦子数量遵循了一个特定的增长模式，即每个格子中的麦子数量是前一个格子的两倍。这种“每次翻倍”的增长方式正是等比数列的定义。

等比数列的定义： 等比数列是一个数列，其中任何一项（从第二项开始）都是它前一项与一个常数（称为公比）的乘积。

在这个问题中，公比 ( r ) 是2。

问题解答

为了计算整个棋盘所需的麦子数量，我们需要对这个等比数列进行求和。等比数列的求和公式为：

S = a_1 * ((1 - r^n)/(1 - r))

其中，( S ) 是和，( a_1 ) 是首项，( r ) 是公比，( n ) 是项数。在这个问题中，( a_1 = 1 )，( r = 2 )，( n = 64 )。

为了更好理解上面的公式，我们来计算前4个格子麦子数量的和。

S = 1 * ((1-2^4)/(1-2)) = 15

计算结果是正确的，前4个格子麦子数量的和为15。

计算填满64个格子需要的麦子数量和：

S = 1 * ((1-2^64)/(1-2))

最终计算出的麦子数量是一个天文数字，远远超出了国王的想象。具体来说，这个数字是 ( 2^{64} - 1 )，即 ( 18,446,744,073,709,551,615 ) 粒麦子。这个数量之大，即使是现代人也难以想象。

C语言编程实现

用C语言实现计算舍罕王所需的麦子数量，可以直接使用等比数列求和的公式，但需要注意避免整数溢出，因为当棋盘大小达到64格时，麦子的数量会是一个非常大的数，会超出普通整型（int）的范围。需要使用unsigned long long类型来存储结果，它是一个更大的无符号整数类型。

C语言实现代码：

#include <stdio.h>
// 定义一个函数来计算等比数列的和
unsigned long long geometric_series_sum(unsigned long long a1, unsigned long long r, unsigned long long n) {
    if (r == 1) {
        // 如果公比为1，则等比数列变为等差数列，求和公式为 a1 * n
        return a1 * n;
    } else {
        // 使用等比数列求和公式
        return a1 * ((1 - pow(r, n)) / (1 - r));
    }
}
int main() {
    unsigned long long a1 = 1; // 首项
    unsigned long long r = 2; // 公比
    unsigned long long n = 64; // 项数
    // 计算等比数列的和
    unsigned long long sum = geometric_series_sum(a1, r, n);
    // 输出结果
    printf("所需的麦子数量为：%llu\n", sum);
    return 0;
}

上面的代码直接使用pow函数可能会因为浮点数的精度问题而导致误差，若对精度要求比较高，需要手动实现一个幂运算的函数来避免这个问题。

函数实现代码：

unsigned long long power(unsigned long long base, unsigned long long exponent) {
    unsigned long long result = 1;
    while (exponent > 0) {
        if (exponent % 2 == 1) {
            result *= base;
        }
        base *= base;
        exponent /= 2;
    }
    return result;
}

将power函数插入到geometric_series_sum函数中，并替换pow函数的调用，就可以避免浮点数的精度问题了。

Python语言实现

使用Python语言计算舍罕王所需的麦子数量，不需要担心整数的溢出问题，因为Python的内置整数类型可以处理任意大小的整数。

Python实现代码：

def geometric_series_sum(a1, r, n):
    """
    计算等比数列的和
    a1: 首项
    r: 公比
    n: 项数
    """
    if r == 1:
        # 如果公比为1，则为等差数列
        return a1 * n
    else:
        # 使用等比数列求和公式
        return a1 * (pow(r, n) - 1) // (r - 1)
# 舍罕王问题参数
a1 = 1  # 首项
r = 2   # 公比
n = 64  # 项数（棋盘格数）
# 计算所需麦子数量
answer = geometric_series_sum(a1, r, n)
# 输出结果
print(f"所需的麦子数量为：{answer}")

注意，在Python中，// 是整数除法，它会返回商的整数部分，这在处理大数时非常有用，因为我们知道结果是一个整数。

运行上述代码，你将得到舍罕王所需的麦子数量，这是一个非常大的数。在实际情况中，你可能需要将其格式化为更易于阅读的格式，比如科学记数法。